GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. Dos carteras, la misma media… ¿el mismo riesgo?

En la aseguradora Andina de Crédito y Caución (ACC), el comité técnico revisa dos carteras de seguro de crédito. El informe ejecutivo resume cada una con un solo número: la severidad media de sus siniestros. Cartera A: 51 millones COP. Cartera B: 53 millones COP. Prácticamente iguales. El comité concluye que ambas merecen la misma prima.

Seis meses después, la cartera B ha producido tres siniestros por encima de 400 millones; la cartera A, ninguno por encima de 220. La prima "justa" calculada con la media dejó a la compañía subsidiando en silencio a los asegurados más riesgosos: la definición clásica de antiselección.

Objetivo de esta sección

Descubrir, con datos, por qué dos carteras con idéntica severidad media pueden tener perfiles de riesgo completamente distintos, y por qué ningún modelo centrado en la media puede detectarlo.

2. Primer vistazo a los datos

Dataset: carteras_ab.csv

Severidad de 600 siniestros de crédito (300 por cartera) de la aseguradora ficticia ACC, en millones de COP. Simulados: la cartera A es Gamma con CV moderado; la B, una mezcla con 15% de siniestros de cola lognormal, calibrada para igualar la media de A.

Variable	Tipo	Descripción
cartera	factor (A/B)	Cartera a la que pertenece el siniestro.
severidad	numérica positiva	Severidad del siniestro en millones de COP.

Fuente: Simulado con semilla 2026 (ver src/data-gen/cartera_acc.R) · Licencia: CC BY-NC-SA 4.0

Exploremos ambas carteras. Si solo miráramos medias, no habría historia que contar:

La media es casi idéntica (51 vs 53), pero la desviación estándar de B casi triplica la de A, y su percentil 99 (el que define el capital que exige el regulador) es 2.8 veces mayor. La cartera B es otra bestia: la mayoría de sus siniestros son pequeños, pero una fracción pertenece a una cola pesada que la media tiende a invisibilizar.

La lección actuarial

La prima técnica no se calcula sobre lo que pasa en promedio, sino sobre la distribución completa de pérdidas: cuantiles extremos, asimetría, curtosis. Dos carteras con igual media pueden requerir capitales de solvencia radicalmente distintos.

3. El mismo problema, en un almacén

El fenómeno no es exclusivo de los seguros. En Logística El Dorado, dos SKUs tienen demanda semanal promedio de 100 unidades. El primero fluctúa suavemente entre 80 y 120; el segundo alterna semanas de 20 con picos de 300. El stock de seguridad que garantiza un nivel de servicio del 95% es el cuantil 0.95 de la demanda, no su media: para el primer SKU bastan ~130 unidades; el segundo exige más de 250. Dimensionar ambos con "media + 1.65 desviaciones" (la receta normal) falla precisamente donde más cuesta: en el SKU volátil, cuya distribución no se parece en nada a una campana.

En biología ocurre igual: las curvas de crecimiento infantil de la OMS no grafican el peso promedio por edad, sino los centiles 3, 15, 50, 85 y 97 — construidos, como veremos en el Módulo 11, con la maquinaria GAMLSS.

4. ¿Qué modela (y qué no) la regresión clásica?

La regresión lineal y los GLM que ya conoces comparten una anatomía: modelan la media condicional $E[Y \mid x]$ y tratan todo lo demás como estorbo. Formalmente, el GLM asume

Y \sim \mathcal{EF}(\mu, \phi), \qquad g(\mu) = x^\top \beta,

donde $\mathcal{EF}$ es una familia exponencial y $\phi$ un parámetro de dispersión constante: un solo número para toda la población. Las consecuencias prácticas, siguiendo a Stasinopoulos et al. (2017, Cap. 1):

Supuesto implícito del GLM	Realidad en nuestros dominios
La dispersión es igual para todos	La volatilidad de la severidad depende del sector; la del proceso, de la temperatura
La asimetría la fija la familia elegida	Las colas de pérdidas varían por segmento de riesgo
Solo interesa $E[Y \mid x]$	Primas, stocks, capital y centiles requieren cuantiles de $Y \mid x$

El salto conceptual de este curso, formulado por Rigby & Stasinopoulos (2005), es permitir que cada parámetro de la distribución —no solo $\mu$ — tenga su propio predictor:

Y \sim \mathcal{D}(\mu, \sigma, \nu, \tau), \qquad g_k(\theta_k) = \eta_k = X_k \beta_k + \sum_j s_{jk}(x_{jk}),

con $\theta_1 = \mu$ (localización), $\theta_2 = \sigma$ (escala), $\theta_3 = \nu$ y $\theta_4 = \tau$ (forma: asimetría y curtosis), y $\mathcal{D}$ elegida en un catálogo de más de 100 distribuciones. La revisión de Kneib et al. (2023) bautizó este programa de investigación con un lema que adoptamos como bandera: rage against the mean.

¿Y los modelos mixtos del curso hermano?

Si vienes del curso de Modelos Mixtos, ya diste un paso en esta dirección: el GLMM modela estructura en la media condicional por grupos. GAMLSS generaliza el movimiento: efectos fijos, suavizados y aleatorios pueden entrar en cualquier parámetro, incluida la dispersión — modelar la heterogeneidad de la varianza entre sectores será clave en los módulos actuariales (6, 14 y 15).

5. Primer contacto con gamlss: ¿qué distribución siguen las severidades?

Pasemos del diagnóstico a la herramienta. El dataset severidad_acc.csv contiene 1.500 severidades de siniestros con sus covariables (las usaremos en el Módulo 2). Hoy solo preguntamos: ¿qué distribución marginal describe bien estas pérdidas? La función histDist() del paquete gamlss ajusta una distribución por máxima verosimilitud y la superpone al histograma (Stasinopoulos et al. 2017, Cap. 2; adaptado del ejemplo introductorio de la vignette de gamlss con los datos rent).

Lectura de resultados:

La Normal fracasa doblemente: asigna probabilidad positiva a severidades negativas y subestima la cola derecha — exactamente los dos rasgos que definen una pérdida.
La Gamma (la elección tradicional en tarificación, De Jong & Heller 2008) captura la asimetría global y mejora el AIC en más de 1.200 puntos.
La BCT (Box-Cox $t$ ; la estudiaremos a fondo en el Módulo 10) añade dos parámetros de forma y todavía arranca ~55 puntos más de AIC: en estas severidades hay más curtosis de la que una Gamma puede expresar. En una cartera real, esa diferencia es la diferencia entre reservar bien y reservar mal el percentil 99.5.

Buena práctica

Antes de modelar covariables, entiende la distribución marginal de tu respuesta. En el Módulo 3 sistematizaremos esta búsqueda con fitDist() y chooseDist(); en el Módulo 4 aprenderemos a juzgar el ajuste con residuos cuantílicos y worm plots, no solo con el AIC.

6. El mapa del curso

Lo que acabas de ver es el patrón que se repetirá, con herramientas cada vez más finas, durante 20 módulos: un problema real donde la media no basta → la distribución completa como objeto de modelado → una familia y unos predictores elegidos con criterio → diagnóstico riguroso → decisión de negocio o de investigación. Los seis dominios del curso (seguros de crédito y caución, inventarios, calidad, materiales, biología y riesgo financiero) irán rotando como casos de apertura, y el hilo actuarial culminará en el Módulo 19 ensamblando un modelo completo de pérdida esperada IFRS 9: $EL = PD \times LGD \times EAD$ .

7. Cierre: ¿qué aprendimos?

¿Cuál de las siguientes situaciones exige modelar más que la media condicional?

Estimar el peso promedio de una población para un informe descriptivoCalcular el stock de seguridad de un SKU con demanda muy variableComparar las medias de dos tratamientos en un experimento balanceadoCalcular un promedio móvil para suavizar una serie de tiempo

Las carteras A y B de ACC tienen severidad media casi idéntica. ¿Por qué NO deberían pagar la misma prima?

Porque la cartera B tiene más siniestros que la APorque el percentil 99 de B casi triplica el de A: su cola exige más capitalPorque la media de B está mal calculada por los valores extremosSí deberían: la prima técnica depende solo de la pérdida esperada

¿Qué modelarías tú?

Piensa en tu propio campo: ¿qué decisión importante se toma hoy con un promedio? ¿La duración media de un trámite, la pérdida media de una cartera, la resistencia media de un material, el tiempo medio de entrega? Identifica: (a) la variable respuesta y su soporte, (b) la decisión que realmente depende de un cuantil o de la dispersión, y (c) qué covariables podrían mover no solo la media sino la forma de la distribución. Guarda tu respuesta: la retomaremos como semilla de tu proyecto final.

Referencias del módulo: Rigby & Stasinopoulos (2005), JRSS-C 54(3); Stasinopoulos, Rigby, Heller, Voudouris & De Bastiani (2017), Flexible Regression and Smoothing, Cap. 1–2; Kneib, Silbersdorff & Säfken (2023), Econometrics and Statistics 26; De Jong & Heller (2008), GLMs for Insurance Data, CUP.