GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. La heterogeneidad invisible

En ACC, la analista Laura Ríos ha descubierto que la severidad media de siniestros varía por sector. Pero dentro de cada sector hay subgrupos: las pólizas grandes vs. pequeñas, los clientes nuevos vs. antiguos. ¿Qué pasa si hay variabilidad no explicada por las covariables observadas?

Si vienes del curso de Modelos Mixtos (MLM), ya conoces la respuesta: efectos aleatorios. La novedad en GAMLSS es que los efectos aleatorios pueden entrar en cualquier parámetro de la distribución, no solo en $\mu$ .

Objetivo

Aprender a usar re() en gamlss() para incorporar efectos aleatorios en $\mu$ , $\sigma$ , $\nu$ o $\tau$ , modelar heterogeneidad entre grupos, y entender la conexión con los GLMM del curso MLM.

2. Efectos aleatorios en GAMLSS: formulación

Un efecto aleatorio para un factor $g$ con $J$ niveles introduce un término $b_j \sim N(0, \sigma_b^2)$ en el predictor. En GAMLSS, esto se puede hacer para cualquier parámetro:

$g_k(\theta_{ki}) = \mathbf{x}_{ki}^\top \boldsymbol{\beta}_k + b_{k,g(i)}$

donde $b_{k,g(i)}$ es el efecto aleatorio del grupo $g(i)$ al que pertenece la observación $i$ , para el parámetro $k$ .

La sintaxis en R es directa:

gamlss(y ~ x + re(factor),
       sigma.formula = ~ re(factor),
       family = GA, data = df)

Conexión con el curso MLM

En el curso de Modelos Mixtos, el GLMM modela $g(\mu) = X\beta + Zb$ donde $b \sim N(0, G)$ . GAMLSS generaliza esto: el efecto aleatorio puede entrar también en $\sigma$ , $\nu$ o $\tau$ . Por ejemplo, la dispersión de la severidad puede variar por sector de forma aleatoria, no solo la media. Esto es regresión distribucional con estructura jerárquica.

3. Caso de estudio: probabilidad de incumplimiento (PD)

El dataset cartera_pd contiene 2.500 clientes con información de sector, antigüedad, ratio de liquidez, endeudamiento y una variable binaria default (incumplimiento sí/no). La pregunta: ¿la PD varía por sector de forma sistemática, o hay una componente aleatoria?

Dataset: cartera_pd.csv

Datos de probabilidad de incumplimiento (PD) de 2.500 clientes de ACC, con covariables financieras y sectoriales. Simulado con semilla 2026.

Variable	Tipo	Descripción
id_cliente	string	Identificador único del cliente
sector	factor (5 niveles)	Sector económico
antiguedad	numérica	Años de relación con ACC
ratio_liquidez	numérica	Ratio de liquidez corriente
endeudamiento	numérica (0-1)	Ratio de endeudamiento
default	binaria (0/1)	Incumplimiento (1) o no (0)
trimestre	entero (1-8)	Trimestre de observación

Fuente: Simulado con semilla 2026 (ver src/data-gen/cartera_pd.R) · Licencia: CC BY 4.0

4. Modelo BI con efecto aleatorio por sector

Para una variable binaria default, usamos la familia BI (Binomial) con enlace logit para $\mu$ :

El modelo con efecto aleatorio (m2) tiene menor AIC. El efecto aleatorio de construcción es +0.49, lo que implica que la PD de construcción es $e^{0.49} \approx 1.63$ veces el promedio, independientemente del endeudamiento y la liquidez. Hay algo del sector construcción que no capturan las covariables observadas.

Enlace: logit

Predictor

logit(μ_i) = β₀ + β₁·endeudamiento_i + β₂·ratio_liquidez_i + β₃·antiguedad_i + b_{sector(i)}

5. Efectos aleatorios en σ: dispersión heterogénea

GAMLSS permite que la dispersión también varíe por grupo. Para datos binomiales, $\sigma$ está fijo por la familia BI, pero para distribuciones continuas como Gamma, podemos modelar $\sigma$ con efectos aleatorios:

Modelo distribucional jerárquico

El modelo anterior es un modelo distribucional jerárquico: tanto la media como la dispersión de la severidad varían aleatoriamente por sector. Esto es imposible en un GLMM estándar, donde solo $\mu$ tiene estructura jerárquica. GAMLSS abre la puerta a modelar la heterogeneidad completa de la distribución entre grupos.

6. Multilevel GAMLSS: más allá de la media jerárquica

Hasta aquí hemos visto un efecto aleatorio por sector en un parámetro. Pero en la práctica los datos tienen estructura jerárquica: pólizas anidadas en carteras, carteras en sectores, observaciones repetidas en el tiempo. GAMLSS hereda toda la maquinaria de los modelos mixtos y la extiende a la distribución completa.

6.1. Estructura jerárquica anidada

En ACC, cada cliente pertenece a un sector y es observado durante varios trimestres. La estructura es:

$\text{cliente}_i \to \text{sector}_{j} \to \text{trimestre}_{t}$

Un modelo con efectos aleatorios anidados introduce un término por cada nivel de la jerarquía:

$g_k(\theta_{ki}) = \mathbf{x}_{ki}^\top \boldsymbol{\beta}_k + b_{k,j(i)} + c_{k,t(i)}$

donde $b_{k,j} \sim N(0, \sigma_{b,k}^2)$ es el efecto del sector $j$ y $c_{k,t} \sim N(0, \sigma_{c,k}^2)$ es el efecto del trimestre $t$ , ambos para el parámetro $k$ .

Anidado vs cruzado

Los efectos son anidados cuando los niveles de un factor están contenidos dentro de otro (ej: alumnos dentro de aulas dentro de escuelas). Son cruzados cuando cada observación pertenece simultáneamente a niveles de factores independientes (ej: sector × trimestre — todo sector aparece en todo trimestre). En gamlss(), ambos se especifican con re() o random(): la distinción está en los datos, no en la sintaxis.

6.2. Efectos aleatorios cruzados: sector × trimestre

El dataset cartera_pd tiene 5 sectores observados durante 8 trimestres. Cada combinación sector-trimestre tiene múltiples clientes. Esto es un diseño cruzado: el sector no está anidado en el trimestre ni viceversa.

El modelo cruzado mejora el AIC en 9 puntos. El BLUP del trimestre 8 (+0.19) sugiere un deterioro temporal: la PD base sube en el último trimestre, independientemente del sector. Esto es información que el modelo sin efecto temporal no podía capturar.

Conexión con IFRS 9

El efecto temporal que acabamos de detectar es exactamente lo que IFRS 9 llama ajuste forward-looking: la PD no es constante en el tiempo, y el regulador exige que se incorporen proyecciones macroeconómicas. Un modelo GAMLSS con random(trimestre) captura esta dinámica de forma no paramétrica, sin necesidad de especificar la forma funcional del efecto macro.

7. Efectos aleatorios en múltiples parámetros: el modelo completo

La verdadera potencia de GAMLSS multinivel aparece cuando los efectos aleatorios entran en más de un parámetro simultáneamente. Volvamos al caso de severidad: ¿la dispersión de la severidad varía por sector de forma aleatoria, además de la media?

Construcción tiene +0.46 en $\mu$ y +0.53 en $\sigma$ . La severidad de construcción no solo es mayor en promedio, sino también más impredecible. Un GLMM estándar solo capturaría el desplazamiento de la media; la heterogeneidad de la dispersión quedaría absorbida por el residuo, inflando los intervalos de predicción para todos los sectores por igual.

Modelo distribucional jerárquico completo

El modelo anterior es la culminación del enfoque GAMLSS multinivel:

$\log(\mu_i) = \beta_0 + \beta_1 \log(\text{monto}_i) + \beta_2 \text{antig}_i + b_{\mu, \text{sector}(i)}$

$\log(\sigma_i) = \gamma_0 + c_{\sigma, \text{sector}(i)}$

Cada parámetro tiene su propia estructura jerárquica. Los BLUPs de $\mu$ y $\sigma$ pueden estar correlacionados o no: sectores con mayor severidad media tienden también a tener mayor dispersión, pero no necesariamente. GAMLSS estima ambas componentes por separado.

8. Comparación formal: GLMM vs GAMLSS multinivel

Enlace: log / logit / identity

Predictor

g(μ_i) = Xβ + Zb_μ (GLMM y GAMLSS)

La tabla siguiente resume las diferencias:

Aspecto	GLMM (lme4 / nlme)	GAMLSS multinivel
Parámetros modelables	$\mu$	$\mu$ , $\sigma$ , $\nu$ , $\tau$
Efectos aleatorios	Solo en $\mu$	En cualquier parámetro
Distribución de $y$	Exponencial family	100+ familias en `gamlss.dist`
Suavizados no lineales	No nativo	`pb()`, `cy()` en cualquier parámetro
Selección por GAIC	No	Sí, comparando modelos anidados/no anidados
Diagnóstico	Residuos Pearson	Residuos cuantílicos + worm plots por nivel
Caso de uso típico	Medias grupales	Distribución completa por grupo

¿Cuándo usar GLMM y cuándo GAMLSS?

Si solo te interesa la media condicional y la estructura jerárquica es simple (1-2 niveles), un GLMM con lme4::glmer() es más rápido y estándar. Si necesitas modelar dispersión, asimetría o curtosis por grupo, o si los datos tienen colas pesadas que varían entre niveles, GAMLSS es la herramienta correcta. En la práctica actuarial, casi siempre importa la cola completa, no solo la media.

9. Cierre

¿Qué diferencia fundamental hay entre un GLMM y un GAMLSS con efectos aleatorios?

El GLMM usa máxima verosimilitud y GAMLSS usa BayesianosEl GLMM solo permite efectos aleatorios en μ; GAMLSS los permite en μ, σ, ν y τGAMLSS no soporta efectos aleatorios, solo efectos fijosNo hay diferencia: son el mismo modelo con distinto nombre

En el modelo cruzado sector × trimestre, ¿qué indica un BLUP de +0.19 para el trimestre 8?

La PD del trimestre 8 es exactamente 0.19La PD del trimestre 8 es 19% mayor que el promedioEl logit de la PD sube en 0.19 respecto al promedio, multiplicando la odds por exp(0.19) ≈ 1.21El trimestre 8 tiene 19% más observaciones

¿Qué modelarías tú?

Si tienes datos agrupados (por equipo, por región, por médico), ¿la variabilidad entre grupos afecta solo la media o también la dispersión? Ajusta un modelo con re() en $\mu$ y otro con re() también en $\sigma$ . ¿Mejora el AIC? ¿Los BLUPs de $\mu$ y $\sigma$ cuentan la misma historia o revelan patrones distintos?

Referencias: Rigby & Stasinopoulos (2005), JRSS-C 54(3), Sec. 4; Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 7; Pinheiro & Bates (2000), Mixed-Effects Models in S and S-PLUS; Skrondal & Rabe-Hesketh (2004), Generalized Latent Variable Modeling.