GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. La cola es lo que cuesta

En ACC, el regulador exige calcular el VaR al 99.5% de la distribución de severidad: el monto tal que solo el 0.5% de los siniestros lo supera. Este cuantil determina el capital de solvencia. Una diferencia de 50 millones COP en el VaR 99.5% significa capital adicional no provisionado.

Laura ha visto que la Gamma ajusta razonablemente las severidades, pero la BCT mejora el AIC. ¿Es la diferencia real o un artefacto estadístico? La respuesta está en las colas: la BCT puede modelar colas mucho más pesadas que la Gamma, y eso cambia radicalmente el VaR 99.5%.

Objetivo

Dominar las distribuciones BCT (Box-Cox t) y GB2 (Generalized Beta 2) para modelar respuestas positivas con colas pesadas, entender cómo los parámetros $\nu$ y $\tau$ controlan la forma de la cola, y calcular cuantiles extremos para decisiones de capital.

2. Box-Cox t (BCT): la distribución estrella de GAMLSS

La BCT se define mediante una transformación Box-Cox de $Y$ seguida de una distribución $t$ de Student:

Transformación Box-Cox: si $\nu \neq 0$ , $Z = \frac{(Y/\mu)^\nu - 1}{\nu \sigma}$ Si $\nu = 0$ , $Z = \frac{\log(Y/\mu)}{\sigma}$ .
Distribución: $Z \sim t_\tau$ (t de Student con $\tau$ grados de libertad).

Los cuatro parámetros tienen interpretación directa:

Parámetro	Significado	Efecto
$\mu$	Mediana de $Y$	Desplaza la distribución
$\sigma$	Dispersión (RSD)	Controla el ancho
$\nu$	Transformación Box-Cox	Controla la asimetría
$\tau$	Grados de libertad de la $t$	Controla la curtosis/colas

El parámetro τ es la clave actuarial

Cuando $\tau \to \infty$ , la BCT converge a una BCCG (Box-Cox Cole-Green, colas normales). Cuando $\tau$ es pequeño (ej. $\tau = 3$ ), las colas son pesadas: la distribución asigna probabilidad sustancial a valores extremos. En seguros, $\tau$ pequeño significa siniestros catastróficos más probables de lo que una Gamma admitiría.

3. Exploración interactiva

Usa el explorador para ver cómo $\nu$ y $\tau$ afectan la forma:

Explorador de distribuciones GAMLSS

Selecciona una familia y ajusta los parámetros para ver la densidad en tiempo real.

Distribución:Soporte: ℝ

μ0.00

σ1.00

Parametrización: Rigby et al. (2019). Los sliders cubren rangos típicos para cada parámetro.

Ejercicio guiado

Selecciona BCT en el explorador.
Fija $\mu = 50$ , $\sigma = 0.15$ , $\nu = 1$ .
Reduce $\tau$ de 50 a 3 gradualmente. Observa cómo la cola derecha se engrosa: la densidad en valores extremos (200+) aumenta.
Ahora cambia $\nu$ de 1 a 0: la distribución se vuelve más asimétrica.
Cambia a GB2 y compara: GB2 tiene mayor flexibilidad en las colas.

4. Generalized Beta 2 (GB2): flexibilidad máxima

La GB2 es una de las distribuciones más flexibles para $\mathbb{R}^+$ . Su densidad es:

$f(y) = \frac{|a| y^{ap-1}}{B(p, q) \, b^{ap} \left[1 + (y/b)^a\right]^{p+q}}$

con parámetros de forma $a, p, q$ y escala $b$ . En la parametrización de gamlss, se reescribe en términos de $(\mu, \sigma, \nu, \tau)$ donde:

$\mu$ = mediana
$\sigma$ = parámetro de escala
$\nu$ = primer parámetro de forma
$\tau$ = segundo parámetro de forma

La GB2 contiene como casos especiales a la Gamma, Beta 2, F de Fisher, Singh-Maddala y Dagum. Es el "cuchillo suizo" de las distribuciones de ingresos y pérdidas.

5. Ajuste de BCT vs GB2 a las severidades de ACC

Enlace: log

Predictor

log(μ_i) = β₀ + β₁·log(monto_i) + β₂·sector_i + β₃·antiguedad_i

Interpretación del gráfico: el panel compara las densidades ajustadas de Gamma, BCT y GB2 en la cola derecha. La Gamma (línea segmentada) decae demasiado rápido: asigna probabilidad despreciable más allá de 200 millones. La BCT (línea sólida) extiende la cola de forma realista, con $\tau = 4.82$ indicando colas moderadamente pesadas (una Normal tendría $\tau \to \infty$ ). La GB2 (línea punteada) es aún más flexible pero no mejora el AIC: sobreajusta la cola a costa de parsimonia.

Tip de los autores: τ como diagnóstico de colas

Stasinopoulos et al. (2017, §8) recomiendan usar $\tau$ de la BCT como un diagnóstico automático del peso de las colas: $\tau > 15$ indica colas ligeras (casi Normal); $5 < \tau < 15$ colas moderadas; $\tau < 5$ colas pesadas que requieren validación cuidadosa. "El parámetro $\tau$ es el termómetro de la cola: léalo siempre antes de confiar en un cuantil extremo." — R. Rigby, curso GAMLSS en Munich (2019). Si $\tau$ es muy bajo (< 3), considere GB2 o distribuciones de cola aún más pesadas.

El impacto en capital regulatorio

La diferencia de 54.5 millones COP en el VaR 99.5% entre Gamma y BCT es el capital adicional que ACC necesitaría reservar si usara el modelo correcto. Si el regulador exige el 99.5%, usar una Gamma subestima el riesgo en ~29%. En una cartera de miles de pólizas, este error se multiplica y puede comprometer la solvencia de la compañía.

6. ¿Cuándo usar BCT vs GB2?

Criterio	BCT	GB2
Flexibilidad de colas	Buena ( $\tau$ controla colas)	Excelente (2 parámetros de forma)
Interpretación	Clara ( $\tau$ = grados de libertad)	Menos intuitiva
Convergencia	Generalmente estable	Puede ser lenta
Casos especiales	Converge a BCCG ( $\tau \to \infty$ )	Contiene GA, F, Dagum, Singh-Maddala
Recomendación	Primera opción para colas pesadas	Cuando BCT no converge o no ajusta

En nuestro caso, BCT tiene menor AIC que GB2 (12305.6 vs 12348.9) y converge más rápido. La BCT es la primera opción para severidades con colas pesadas.

7. Cierre

¿Qué parámetro de la BCT controla el peso de las colas?

μ (mediana): desplaza la distribuciónσ (dispersión): controla el anchoν (Box-Cox): controla la asimetríaτ (grados de libertad): τ pequeño = colas más pesadas

Si el VaR 99.5% con BCT es 241.8 y con Gamma es 187.3, ¿cuál es la consecuencia práctica de usar Gamma?

Se sobreestima el capital en 54.5 millonesSe subestima el capital en 54.5 millones, comprometiendo la solvenciaNo hay diferencia práctica: ambos modelos son equivalentesLa Gamma es mejor porque da primas más competitivas

¿Qué modelarías tú?

Toma una variable positiva con colas (ingresos, pérdidas, tiempos). Ajusta GA, BCT y GB2. Compara el VaR 99% o 99.5% entre los tres. ¿La diferencia es grande? Si sí, ¿qué consecuencias tiene para tus decisiones?

Referencias: Rigby & Stasinopoulos (2005), JRSS-C 54(3); Rigby et al. (2019), Cap. 4–6; Kleiber & Kotz (2003), Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences.