GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. ¿Qué distribución sigue mi variable?

Laura Ríos, la analista de ACC, ha ajustado una Gamma a las severidades y ha mejorado el ajuste respecto a la Normal. Pero, ¿es la Gamma la mejor opción? ¿Podría una Box-Cox t, una log-normal o una Generalized Beta 2 capturar mejor la estructura de los datos?

El paquete gamlss.dist contiene más de 100 distribuciones continuas y discretas, cada una con su parametrización $(\mu, \sigma, \nu, \tau)$ y enlaces por defecto. La pregunta práctica es: ¿cuál elegir?

Objetivo de este módulo

Recorrer el catálogo de distribuciones de gamlss.dist organizado por tipo de soporte, usar fitDist() para comparar automáticamente todas las familias aplicables, e introducir el GAIC como criterio de selección.

2. Taxonomía de distribuciones en gamlss.dist

Las distribuciones se organizan según el soporte de la variable respuesta:

Soporte $\mathbb{R}^+$ (positivas continuas)

Familia	Parámetros	Asimetría	Colas	Uso típico
NO	$\mu, \sigma$	No	No	Referencia (rara vez adecuada)
GA	$\mu, \sigma$	Sí (fija)	Moderadas	Severidades, costos
LOGNO	$\mu, \sigma$	Sí	Moderadas	Ingresos, salarios
BCCG	$\mu, \sigma, \nu$	Sí (ajustable)	Moderadas	Curvas LMS, antropometría
BCT	$\mu, \sigma, \nu, \tau$	Sí (ajustable)	Pesadas (ajustables)	Severidades con cola
GB2	$\mu, \sigma, \nu, \tau$	Sí (ajustable)	Pesadas	Ingresos, pérdidas extremas
WEI3	$\mu, \sigma, \nu$	Sí	Moderadas	Confiabilidad, fatiga
IG	$\mu, \sigma$	Sí	Moderadas	Tiempos de espera

Soporte $(0, 1)$ (proporciones)

Familia	Parámetros	Característica	Uso típico
BE	$\mu, \sigma$	Beta estándar	Proporciones continuas
BEINF	$\mu, \sigma, \nu, \tau$	Inflada en 0 y 1	LGD, defectos

Soporte $\mathbb{N}_0$ (conteos)

Familia	Parámetros	Característica	Uso típico
PO	$\mu$	Poisson	Conteos sin sobredispersión
NBI	$\mu, \sigma$	Binomial negativa I	Frecuencia con sobredispersión
NBII	$\mu, \sigma$	Binomial negativa II	Varianza = μ + σμ²
ZIP	$\mu, \sigma$	Poisson inflada en 0	Frecuencia con exceso de ceros
ZANBI	$\mu, \sigma, \nu$	NBI inflada en 0	Frecuencia con ceros y sobredispersión

Soporte $\mathbb{R}$ (reales)

Familia	Parámetros	Característica
NO	$\mu, \sigma$	Normal
TF	$\mu, \sigma, \nu$	t de Student (ν = gl)
SHASH	$\mu, \sigma, \nu, \tau$	Sinh-arcsinh

¿Por qué tantas distribuciones?

La filosofía de GAMLSS es que la distribución debe adaptarse a los datos, no al revés. En la práctica actuarial, una Gamma puede ser suficiente para severidades moderadas, pero una BCT o GB2 es necesaria cuando hay colas pesadas que determinan el capital regulatorio. La flexibilidad de tener $\nu$ y $\tau$ como parámetros libres —no fijados por la familia— es lo que distingue a GAMLSS de un GLM.

3. Explorador interactivo

Usa el explorador a continuación para visualizar cómo cambian la densidad y la CDF al modificar los parámetros de cada distribución:

Explorador de distribuciones GAMLSS

Selecciona una familia y ajusta los parámetros para ver la densidad en tiempo real.

Distribución:Soporte: ℝ

μ0.00

σ1.00

Parametrización: Rigby et al. (2019). Los sliders cubren rangos típicos para cada parámetro.

Cómo usar el explorador

Selecciona una distribución del menú desplegable.
Ajusta los sliders de $\mu$ , $\sigma$ , $\nu$ y $\tau$ (los que apliquen).
Observa cómo cambia la forma: asimetría, colas, moda.
Alterna entre PDF y CDF para ver la función de distribución acumulada.

Pruébalo con BCT: aumenta $\tau$ (grados de libertad) y observa cómo las colas se vuelven más pesadas al reducir $\tau$ .

4. Selección automática con fitDist()

La función fitDist() ajusta todas las distribuciones aplicables a un vector de datos y devuelve el modelo con menor GAIC. Es la herramienta de exploración inicial más potente del ecosistema.

La BCT gana por un margen claro: 29 puntos sobre BCCG, 55 sobre LOGNO/GA. La Normal queda última, con un AIC casi 1.350 puntos peor.

Interpretación del gráfico: el panel muestra los histogramas de severidad con las densidades ajustadas superpuestas. La BCT (línea sólida) captura tanto la asimetría de la masa principal como el grosor de la cola derecha. La Gamma (línea segmentada) subestima la probabilidad en la cola: para el percentil 99, la diferencia entre BCT y Gamma puede representar millones de COP en reservas. La Normal ni siquiera respeta el soporte positivo de la variable.

Tip de los autores: la regla ΔGAIC

Stasinopoulos et al. (2017, §4.3) establecen una guía práctica para interpretar diferencias de GAIC entre modelos competidores: $\Delta\text{GAIC} < 10$ indica evidencia débil (ambos modelos son razonablemente equivalentes); $10 \leq \Delta\text{GAIC} \leq 100$ evidencia moderada; $\Delta\text{GAIC} > 100$ evidencia fuerte a favor del modelo con menor GAIC. "No elijas la distribución por el AIC solo: mira el worm plot. Una distribución puede ganar en AIC y aún así tener patologías sistemáticas en los residuos." — M. Stasinopoulos, curso en Sevilla (2022).

chooseDist(): comparación condicional a un modelo

Mientras fitDist() compara distribuciones marginales, chooseDist() compara familias dentro de un modelo GAMLSS ya ajustado, manteniendo los predictores fijos:

Comparación de modelos (GAIC)

Modelo	Familia	gl	GAIC	ΔGAIC
BCT	BCT	12	12305.6	—
BCCG	BCCG	11	12334.2	+28.6
GB2	GB2	12	12348.9	+43.3
LOGNO	LOGNO	10	12361.5	+55.9
GA	GA	10	12363.7	+58.1
IG	IG	10	12377.8	+72.2
WEI3	WEI3	11	12428.3	+122.7
NO	NO	10	12652.1	+346.5

★ Modelo con menor GAIC. ΔGAIC < 10: evidencia débil; 10–100: moderada; > 100: fuerte.

5. GAIC: el criterio de selección

El GAIC (Generalized Akaike Information Criterion) extiende el AIC clásico con un parámetro de penalización $K$ :

$GAIC_K = -2\ell(\hat{\boldsymbol{\theta}}) + K \cdot p$

donde $\ell$ es la log-verosimilitud, $p$ es el número total de parámetros efectivos y $K$ controla la severidad de la penalización:

$K = 2$ : equivalente al AIC clásico. Favorece modelos más complejos.
$K = \log(n)$ : equivalente al BIC. Más conservador.
$K = 3.9$ : valor intermedio sugerido por Rigby et al. (2019) para distribuciones con 4 parámetros.

ΔGAIC y fuerza de evidencia

La diferencia $\Delta GAIC = GAIC_j - GAIC_{min}$ indica la evidencia a favor del mejor modelo:

$\Delta < 10$ : evidencia débil (ambos modelos son competitivos).
$10 \leq \Delta < 100$ : evidencia moderada.
$\Delta \geq 100$ : evidencia fuerte (el modelo inferior es sustancialmente peor).

En nuestro caso, BCT vs GA tiene $\Delta = 58.1$ : evidencia moderada a favor de BCT.

6. Cierre

¿Cuál es la diferencia fundamental entre fitDist() y chooseDist()?

fitDist() ajusta distribuciones marginales; chooseDist() compara familias dentro de un modelo con covariablesfitDist() solo funciona con datos positivos; chooseDist() con cualquier tipofitDist() usa AIC; chooseDist() usa BICNo hay diferencia: son alias de la misma función

Si el GAIC de BCT es 13892.8 y el de NO es 15236.5, ¿cuál es la fuerza de la evidencia?

Débil: la diferencia es menor a 10Moderada: la diferencia está entre 10 y 100Fuerte: la diferencia supera 100No se puede determinar sin el número de parámetros

¿Qué modelarías tú?

Toma una variable positiva de tu dominio (ingresos, costos, tiempos, severidades). Usa fitDist() para comparar todas las familias realplus. ¿Gana una distribución de 4 parámetros (BCT, GB2) o basta con una de 2 (GA, LOGNO)? ¿Qué te dice eso sobre la complejidad de tus datos?

Referencias del módulo: Rigby, Stasinopoulos, Heller & De Bastiani (2019), Distributions for Modeling Location, Scale, and Shape, Cap. 1–6; Stasinopoulos et al. (2017), Flexible Regression and Smoothing, Cap. 4.