GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. Proporciones: el problema de los límites

En Cementos del Cauca, el equipo de calidad mide la proporción de productos defectuosos por lote. Algunos lotes son perfectos (proporción = 0), otros completamente defectuosos (proporción = 1), y el resto está en (0, 1). Una regresión lineal no funciona: puede predecir valores negativos o mayores que 1. Una regresión logística asume binomial, pero la proporción por lote no es un conteo de éxitos sobre ensayos fijos.

En ACC, el departamento de riesgo crediticio mide el LGD (Loss Given Default): la fracción del préstamo que se pierde tras un incumplimiento. $LGD \in [0, 1]$ , con masa en 0 (recuperación total) y en 1 (pérdida total), además de una componente continua en (0, 1).

Objetivo

Modelar proporciones y datos acotados en [0, 1] usando Beta (BE) para el caso continuo en (0, 1) y Beta inflada (BEINF) para datos con masa en 0 y/o 1.

2. La distribución Beta en gamlss

La Beta estándar tiene soporte $(0, 1)$ y se parametriza en gamlss como:

$Y \sim \text{BE}(\mu, \sigma)$

con $E[Y] = \mu$ y $\text{Var}(Y) = \sigma^2 \mu(1-\mu)$ , donde $\sigma$ es un parámetro de precisión inversa ( $\sigma$ pequeño = mayor concentración alrededor de $\mu$ ).

Los enlaces por defecto son logit para $\mu$ y log para $\sigma$ .

3. La distribución BEINF: Beta inflada en 0 y 1

Cuando los datos tienen masa puntual en 0 y/o 1, se usa BEINF (Beta Inflated), que es una mezcla de tres componentes:

$Y \sim \begin{cases} 0 & \text{con prob. } \nu \\ 1 & \text{con prob. } \tau \\ \text{Beta}(\mu, \sigma) & \text{con prob. } 1 - \nu - \tau \end{cases}$

Los cuatro parámetros se modelan con enlaces logit ( $\mu$ , $\nu$ , $\tau$ ) y log ( $\sigma$ ).

Interpretación de BEINF

$\mu$ : media de la componente Beta (la proporción "cuando no es ni 0 ni 1").
$\sigma$ : precisión inversa de la componente Beta.
$\nu$ : probabilidad de valor exactamente 0 (ej. recuperación total).
$\tau$ : probabilidad de valor exactamente 1 (ej. pérdida total).

Cada parámetro puede depender de covariables. Por ejemplo, la probabilidad de pérdida total ( $\tau$ ) puede depender del colateral.

4. Caso de estudio: lotes defectuosos

Dataset: lotes_defectuosos.csv

Proporción de productos defectuosos por lote en tres líneas de producción. 800 observaciones. Simulado con semilla 2026.

Variable	Tipo	Descripción
id_lote	string	Identificador del lote
linea	factor (A/B/C)	Línea de producción
temperatura	numérica (°C)	Temperatura de operación
velocidad	numérica	Velocidad de producción (unidades/min)
proporcion_defectos	numérica [0,1]	Proporción de defectos en el lote

Fuente: Simulado con semilla 2026 (ver src/data-gen/lotes_defectuosos.R) · Licencia: CC BY 4.0

Lectura del modelo

La línea C es la peor en todos los frentes:

$\mu$ mayor: cuando hay defectos parciales, la proporción es más alta.
$\nu$ menor: menos probabilidad de lote perfecto (0.60 vs 0.77 en A).
$\tau$ mayor: más probabilidad de lote completamente defectuoso.

La temperatura y velocidad aumentan $\mu$ : mayor temperatura o velocidad → más defectos en la componente continua. Esto guía la optimización del proceso.

Tip de los autores: BEINF vs Beta pura

Rigby & Stasinopoulos (2005, §5) introdujeron BEINF precisamente porque la Beta estándar no admite ceros ni unos. "En práctica, las proporciones reales casi siempre contienen 0 y 1: lotes perfectos, recuperaciones totales, tasas de conversión del 100%. Ignorar esa masa puntual y forzar los datos dentro de (0,1) distorsiona los cuantiles extremos." — N. Butler, curso GAMLSS en Londres (2020). La BEINF modela tres componentes: $P(Y=0)$ , $P(Y=1)$ y una Beta condicional en (0,1), cada una con sus propios predictores.

5. Aplicación actuarial: LGD con BEINF

El dataset recuperaciones_acc contiene el LGD de 2.000 créditos. El patrón es: ~56% con LGD=0 (recuperación total), ~14% con LGD=1 (pérdida total), y ~30% en (0, 1).

6. Cierre

¿Qué distribución usar para una proporción que toma valores exactamente 0, exactamente 1, y valores continuos entre 0 y 1?

Beta (BE): modela (0,1) continuoBEINF: mezcla de Beta con masa puntual en 0 y en 1Normal: basta con transformar los datosBinomial: es una proporción

¿Qué modelarías tú?

¿Tienes una proporción o porcentaje en tu trabajo? ¿Tiene valores exactamente 0 o 1? Si es continuo en (0,1), usa BE. Si tiene masa en los extremos, usa BEINF. ¿Qué covariables afectan la probabilidad de los extremos?

Referencias: Rigby et al. (2019), Cap. 8; Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 10; Ospina & Ferrari (2010), Computational Statistics 25.