GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. La frecuencia no es solo una media

En ACC, el departamento de suscripción necesita modelar el número de siniestros por póliza en un año. La prima de frecuencia depende de $E[\text{número de siniestros}]$ , pero también de la probabilidad de cero siniestros (que afecta el costo administrativo) y de la cola (pólizas con muchos siniestros seguidos).

Carlos Méndez, el analista de inventarios de Logística El Dorado, tiene un problema análogo: la demanda semanal de muchos SKUs es un conteo (unidades demandadas) con muchos ceros (semanas sin demanda) y picos esporádicos.

Objetivo

Dominar el modelado de datos de conteo en GAMLSS: Poisson, Binomial Negativa (NBI, NBII), y distribuciones con exceso de ceros (ZIP, ZINBI, ZANBI). Diagnosticar sobredispersión y elegir la familia adecuada.

2. El catálogo de distribuciones para conteos

Familia	Parámetros	Var(Y)	Ceros inflados	Uso
PO	$\mu$	$\mu$	No	Sin sobredispersión
NBI	$\mu, \sigma$	$\mu + \sigma\mu^2$	No	Sobredispersión estándar
NBII	$\mu, \sigma$	$\mu + \sigma\mu$	No	Sobredispersión lineal
PIG	$\mu, \sigma$	$\mu + \sigma\mu^2$	No	Cola más pesada que NBI
ZIP	$\mu, \sigma$	—	Sí ( $\sigma$ = P(Y=0) extra)	Exceso de ceros, sin sobredispersión
ZANBI	$\mu, \sigma, \nu$	—	Sí ( $\nu$ = P(Y=0) extra)	Exceso de ceros + sobredispersión
ZINBI	$\mu, \sigma, \nu$	—	Sí ( $\nu$ = P(Y=0) extra)	Exceso de ceros + sobredispersión

Sobredispersión: el diagnóstico clave

Si $\text{Var}(Y) > E[Y]$ , hay sobredispersión. La Poisson asume $\text{Var}(Y) = E[Y]$ , por lo que sobrestima la precisión cuando hay sobredispersión. En seguros, esto lleva a primas demasiado bajas y reservas insuficientes. La NBI es el caballo de batalla para corregirlo.

3. Caso de estudio: frecuencia de siniestros

Dataset: frecuencia_polizas.csv

Frecuencia de siniestros de 3.000 pólizas de ACC con covariables sectoriales, zonales y de exposición. Simulado con semilla 2026.

Variable	Tipo	Descripción
id_poliza	string	Identificador de la póliza
sector	factor (5)	Sector económico
zona	factor (3)	Tipo de zona (urbana, suburbana, rural)
antiguedad	numérica	Años con la póliza
exposure	numérica (0-1)	Fracción del año expuesta
n_siniestros	entero ≥ 0	Número de siniestros en el año

Fuente: Simulado con semilla 2026 (ver src/data-gen/frecuencia_polizas.R) · Licencia: CC BY 4.0

4. Diagnóstico inicial: ¿hay sobredispersión?

El diagnóstico es claro:

Sobredispersión: Var/Media = 2.72 (Poisson asume = 1).
Exceso de ceros: 23.1% observado vs. 3.7% esperado bajo Poisson.

5. Ajuste y comparación de modelos

Comparación de modelos (GAIC)

Modelo	Familia	gl	GAIC	ΔGAIC
ZINBI	ZINBI	14	16542.8	—
NBI	NBI	9	16873.5	+330.7
PO	PO	8	18452.3	+1909.5

★ Modelo con menor GAIC. ΔGAIC < 10: evidencia débil; 10–100: moderada; > 100: fuerte.

Interpretación del modelo ZINBI

El modelo ZINBI tiene tres predictores:

$\mu$ : la tasa de siniestros condicional (enlace log), dependiente de sector, zona y antigüedad.
$\sigma$ : la sobredispersión de la NBI (constante).
$\nu$ : la probabilidad de "cero estructural" (enlace logit), dependiente del sector. Algunas pólizas nunca reportan siniestros por razones no capturadas en la media.

Esto es fundamental para la tarificación: una póliza con alta $\nu$ tiene probabilidad extra de cero, lo que reduce la prima esperada.

6. Predicción de cuantiles para stock de seguridad

Para Logística El Dorado, el cuantil 95% de la demanda semanal determina el stock de seguridad. Con un modelo NBI o ZINBI ajustado, podemos predecir cuantiles condicionales:

7. Cierre

¿Cuándo se debe usar ZINBI en lugar de NBI?

Siempre: ZINBI es superior porque tiene más parámetrosCuando hay sobredispersión pero no exceso de cerosCuando hay sobredispersión Y exceso de ceros respecto a lo esperado por la NBICuando la variable respuesta es continua positiva

¿Qué modelarías tú?

Si tienes datos de conteo (frecuencia de eventos, número de defectos, visitas médicas), calcula el ratio Var/Media. ¿Hay sobredispersión? ¿Hay exceso de ceros? Ajusta PO, NBI y ZINBI y compara el AIC.

Referencias: Rigby et al. (2019), Cap. 9; Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 9; Hilbe (2011), Negative Binomial Regression, CUP.