GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. El problema del diagnóstico distribucional

Laura ha ajustado una BCT a las severidades de ACC y el GAIC dice que es la mejor. Pero, ¿es realmente buena? El GAIC compara modelos entre sí, pero no dice si el mejor modelo es absolutamente bueno. Para eso necesitamos diagnósticos de residuos.

En un GLM, los residuos deviance o Pearson son estándar. Pero en GAMLSS, con distribuciones de 4 parámetros y soportes variados, los residuos clásicos no funcionan: su distribución depende de la familia elegida y no es comparable.

Objetivo

Dominar los residuos cuantílicos normalizados (Dunn & Smyth, 1996), el worm plot como herramienta visual de diagnóstico, y las Q-statistics para detectar desajustes sistemáticos.

2. Residuos cuantílicos normalizados

Dunn & Smyth (1996) propusieron un tipo de residuo que es siempre Normal estándar si el modelo es correcto, sin importar la distribución de $Y$ . La idea es brillante en su simplicidad:

$r_i = \Phi^{-1}\bigl(F_Y(y_i; \hat{\mu}_i, \hat{\sigma}_i, \hat{\nu}_i, \hat{\tau}_i)\bigr)$

donde $F_Y$ es la CDF de la distribución ajustada y $\Phi^{-1}$ es la inversa de la CDF normal estándar. Si el modelo es correcto, $r_i \stackrel{iid}{\sim} N(0,1)$ .

Para distribuciones discretas, donde $F_Y$ es escalonada, se usa una aleatorización: $r_i = \Phi^{-1}(u_i)$ donde $u_i \sim \text{Uniforme}(F_Y(y_i^-), F_Y(y_i))$ .

Ventaja clave

Los residuos cuantílicos son comparables entre distribuciones. Los residuos de un modelo BCT y uno Gamma, si ambos son correctos, deben parecer $r_i \sim N(0,1)$ . Esto permite diagnosticar modelos con familias distintas usando el mismo estándar.

3. Worm plots: el diagnóstico visual

El worm plot (van Buuren & Fredriks, 2001) es una variante del Q-Q plot diseñada específicamente para detectar desajustes en modelos distribucionales. En lugar de graficar los cuantiles teóricos vs. los observados, grafica la desviación de cada punto respecto a la línea de referencia:

Eje X: cuantiles teóricos esperados de una $N(0,1)$ .
Eje Y: residuos cuantílicos observados menos los esperados.

Si el modelo es correcto, los puntos forman una línea horizontal sobre $y=0$ . Las desviaciones sistemáticas revelan patologías específicas:

Worm plot — Guía de interpretación interactiva

Pasa el cursor sobre las regiones

El worm plot ideal muestra puntos alineados sobre la línea horizontal. Las desviaciones sistemáticas indican problemas en el modelo.

4. Las cuatro patologías

Van Buuren & Fredriks (2001) identificaron cuatro patrones de desajuste en el worm plot, cada uno asociado a un problema en un parámetro del modelo:

Patología	Forma del worm	Parámetro afectado	Corrección
Nivel	Puntos por encima/debajo de 0	$\mu$ mal especificado	Revisar predictor de $\mu$
Pendiente	Línea diagonal creciente/decreciente	$\sigma$ mal especificado	Revisar predictor de $\sigma$
Forma de U	Curva cóncava/convexa	$\nu$ (asimetría) inadecuado	Cambiar familia o modelar $\nu$
Forma de S	Inflexión (sube-baja o viceversa)	$\tau$ (curtosis) inadecuado	Modelar $\tau$ o familia con colas más pesadas

5. Práctica con datos reales: dbbmi

El dataset dbbmi del paquete gamlss.data contiene el índice de masa corporal (IMC) de niños holandeses. Es el dataset canónico para enseñar worm plots (Stasinopoulos et al., 2017, Cap. 6).

Las Q-statistics ( $C_1$ a $C_4$ ) son los test formales asociados a las cuatro patologías. Valores pequeños ( $< 0.3$ aprox.) indican ausencia de desajuste. En este caso, el modelo BCCG con suavizados por edad pasa todos los tests.

El origen de los worm plots: van Buuren & Fredriks (2001)

Los worm plots fueron introducidos por Stef van Buuren y Miranda Fredriks en 2001, en el contexto de las curvas de crecimiento infantil de la OMS. Su idea brillante: dividir los residuos en grupos por edad y dibujar un mini-Q-Q plot para cada grupo, de modo que se pueda detectar dónde en el rango de la covariable el modelo falla. "El worm plot no es solo un gráfico: es un mapa de patologías que dice qué parámetro arreglar y en qué rango." — van Buuren (2001, §4). Las Q-statistics ( $C_1$ – $C_4$ ) formalizan las cuatro desviaciones: nivel, pendiente, forma de U y forma de S.

6. ¿Qué pasa cuando el modelo falla?

Ajustemos ahora una Normal (sin modelar $\sigma$ , $\nu$ , $\tau$ ) a los mismos datos para ver cómo se ven las patologías:

Interpretación de las patologías

C2 alto (pendiente): $\sigma$ debería depender de la edad (el IMC tiene variabilidad creciente con la edad). La Normal asume $\sigma$ constante.
C3 alto (forma de U): la distribución del IMC es asimétrica, pero la Normal es simétrica. Se necesita modelar $\nu$ (BCCG o BCT).
C4 moderado: cierta curtosis no capturada, pero menos severa.

La corrección natural es pasar de NO a BCCG y permitir que $\sigma$ y $\nu$ dependan de la edad — exactamente lo que hacía el primer modelo.

7. Cierre

En un worm plot, los puntos forman una curva en U (cóncava). ¿Qué parámetro del modelo GAMLSS está mal especificado?

μ (localización): falta una covarizable en el predictor de la mediaσ (escala): la dispersión no se modela correctamenteν (asimetría): la familia elegida no captura la asimetría de los datosτ (curtosis): las colas no están bien modeladas

¿Qué modelarías tú?

Ajusta un modelo GAMLSS a una variable de tu dominio. Genera el worm plot con wp(). ¿Aparece alguna de las cuatro patologías? Si es así, ¿qué parámetro necesitas modelar para corregirla?

Referencias: Dunn & Smyth (1996), JCGS 5(3); van Buuren & Fredriks (2001), Stat. Med. 20; Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 6.