GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. De la intuición al marco formal

En el Módulo 1 vimos que dos carteras con la misma severidad media pueden tener perfiles de riesgo radicalmente distintos. La solución apuntaba a modelar la distribución completa, no solo la media. Ahora formalizamos esa intuición: el marco GAMLSS.

La aseguradora ACC necesita tarificar la severidad de siniestros de crédito condicional a covariables: el monto asegurado, el sector económico y la antigüedad del cliente. Un GLM Gamma modelaría la media $\mu_i = E[Y_i \mid \mathbf{x}_i]$ con un enlace log, pero asumiría que la dispersión $\sigma$ es constante para todas las observaciones. ¿Es eso razonable cuando la construcción tiene una variabilidad muy distinta a la manufactura?

Objetivo de este módulo

Presentar la formulación matemática de GAMLSS tal como la establecen Rigby & Stasinopoulos (2005), entender la sintaxis de gamlss() en R, y construir el primer modelo distribucional con covariables.

2. La ecuación GAMLSS

Un modelo GAMLSS asume que la variable respuesta $Y_i$ tiene una distribución $\mathcal{D}$ parametrizada por hasta cuatro parámetros:

$Y_i \stackrel{ind}{\sim} \mathcal{D}(\mu_i, \sigma_i, \nu_i, \tau_i) \quad \text{para } i = 1, \ldots, n$

Cada parámetro $\theta_k \in \{\mu, \sigma, \nu, \tau\}$ se modela mediante una función de enlace monótona $g_k(\cdot)$ y un predictor aditivo $\eta_k$ :

$g_k(\theta_{ki}) = \eta_{ki} = \mathbf{x}_{ki}^\top \boldsymbol{\beta}_k + \sum_{j=1}^{J_k} f_{kj}(x_{kji})$

donde:

$\mathbf{x}_{ki}^\top \boldsymbol{\beta}_k$ es la parte paramétrica (efectos lineales).
$f_{kj}(\cdot)$ son funciones suaves no paramétricas (P-splines, loess, random effects).
$k \in \{1, 2, 3, 4\}$ indexa los parámetros $\mu, \sigma, \nu, \tau$ .

Comparación con GLM

El GLM es un caso particular de GAMLSS donde:

Solo se modela $\mu$ (los demás parámetros son constantes).
$\mathcal{D}$ pertenece a la familia exponencial.
No hay términos suaves ( $f_{kj} = 0$ ).

GAMLSS relaja las tres restricciones simultáneamente.

Funciones de enlace canónicas

Cada familia de distribuciones tiene enlaces por defecto en gamlss:

Parámetro	Enlace típico	Dominio del parámetro	Razón
$\mu$	log (para $\mathbb{R}^+$ )	$(0, \infty)$	Asegura positividad
$\mu$	identity (para $\mathbb{R}$ )	$(-\infty, \infty)$	Sin restricción
$\mu$	logit (para $(0,1)$ )	$(0, 1)$	Mapea a probabilidad
$\sigma$	log	$(0, \infty)$	Asegura positividad
$\nu$	identity	$(-\infty, \infty)$	Sin restricción
$\tau$	log	$(0, \infty)$	Asegura positividad

Elegir la familia de distribución
Según el soporte de Y: ℝ⁺ → GA, LOGNO, BCT; (0,1) → BE, BEINF; ℕ₀ → NBI, ZIP; ℝ → NO, TF.
Especificar los predictores
Para cada parámetro activo, definir la fórmula: efectos lineales (x1 + x2), suavizados (pb(x)), efectos aleatorios (re(factor)).
Ajustar con gamlss()
La función gamlss() estima por máxima verosimilitud penalizada usando el algoritmo RS (Rigby & Stasinopoulos, 2005, Sec. 2).
Diagnosticar
Residuos cuantílicos (Módulo 4), worm plots, GAIC (Módulo 7). Iterar si es necesario.

3. Primer modelo GAMLSS con covariables

Ajustemos la severidad de los siniestros de ACC condicional al monto asegurado, el sector y la antigüedad. Empezamos con una Gamma donde solo $\mu$ depende de covariables (equivalente a un GLM Gamma):

El coeficiente de log(monto) es 0.578: cada duplicación del monto asegurado aumenta la severidad media esperada en un factor $2^{0.578} \approx 1.49$ , es decir, +49%. La construcción tiene un coeficiente de +0.32 respecto a la manufactura (referencia), lo que implica una severidad media ~38% superior.

Pero hay una pregunta clave: ¿es razonable asumir que σ es constante?

Tip de los autores: el test de σ

Stasinopoulos et al. (2017, §3.2) recomiendan siempre ajustar primero un modelo con σ constante (como un GLM tradicional) y luego liberar σ por grupos. Si el AIC cae más de 10 puntos, la mejora es significativa. "Modelar la dispersión no es un lujo: es la diferencia entre un cuantil bien calculado y uno desastroso." — D. Rigby, curso GAMLSS en Munich (2019).

4. Modelando la dispersión: el salto distribucional

El verdadero poder de GAMLSS emerge cuando permitimos que $\sigma$ también dependa de covariables. En los datos de ACC, la dispersión de la severidad varía por sector (la construcción es mucho más volátil). Ajustemos un modelo donde tanto $\mu$ como $\sigma$ dependen del sector:

El AIC cae en más de 170 puntos. El coeficiente de $\sigma$ para construcción es +0.59, lo que significa que la dispersión en ese sector es $e^{0.59} \approx 1.80$ veces la de manufactura. La construcción no solo tiene severidades más altas, sino también más volátiles.

Enlace: log

Predictor

log(μ_i) = β₀ + β₁·log(monto_i) + β₂·sector_i + β₃·antiguedad_i

La diferencia con un GLM

Un GLM Gamma clásico no permite que la dispersión dependa de covariables. GAMLSS lo hace de forma natural: sigma.formula = ~ sector añade un predictor para $\sigma$ con la misma sintaxis que el predictor de $\mu$ . Esto es regresión distribucional: no solo la media, sino la forma entera de la distribución cambia con las covariables.

5. Diagnóstico rápido: residuos vs. índice

Antes de profundizar en el diagnóstico (Módulo 4), una verificación rápida: los residuos normalizados de un buen modelo deberían verse como ruido blanco.

Interpretación del gráfico de residuos: los residuos cuantílicos (Dunn & Smyth, 1996) se distribuyen aproximadamente como una $N(0,1)$ cuando el modelo es correcto. En el panel superior vemos los residuos vs. índice: no hay patrones sistemáticos (funiles, curvas, tendencias), lo que sugiere que el modelo captura la estructura de los datos. El Q-Q plot inferior muestra los puntos alineados sobre la diagonal, y el test de Shapiro-Wilk no rechaza normalidad ( $p = 0.74$ ).

¿Por qué residuos cuantílicos y no deviance residuals?

Dunn & Smyth (1996) demostraron que los residuos cuantílicos normalizados son los únicos que se distribuyen exactamente como $N(0,1)$ bajo el modelo correcto, independientemente de la familia elegida. Los deviance residuals, útiles en GLMs, no tienen esta propiedad en GAMLSS cuando se modelan $\sigma$ , $\nu$ o $\tau$ . "Si vas a mirar un solo gráfico de diagnóstico, que sea el worm plot de los residuos cuantílicos." — M. Stasinopoulos, vignette gamlss-diagnostic.

6. Síntesis y cierre

Hemos pasado del diagnóstico del Módulo 1 ("la media no basta") a la construcción del primer modelo distribucional con covariables. La sintaxis de gamlss() es deliberadamente similar a la de glm(), pero con dos diferencias clave:

Múltiples predictores: sigma.formula, nu.formula, tau.formula permiten modelar cada parámetro de la distribución.
Catálogo amplio: más de 100 distribuciones en gamlss.dist, no limitadas a la familia exponencial.

En el modelo m2, el coeficiente de σ para construcción es +0.59. ¿Qué implica?

La severidad media en construcción es 59% mayorLa dispersión de la severidad en construcción es ~80% mayor que en manufacturaLa probabilidad de siniestro en construcción es 0.59El modelo está sobreajustado en construcción

¿Qué modelarías tú?

Si tuvieras que modelar la severidad de siniestros en tu organización, ¿qué covariables entrarían en el predictor de $\mu$ ? ¿Y en el de $\sigma$ ? ¿Es razonable asumir que la dispersión es la misma para todos los segmentos, o hay grupos sistemáticamente más volátiles?

Referencias del módulo: Rigby & Stasinopoulos (2005), JRSS-C 54(3), Sec. 2; Stasinopoulos et al. (2017), Flexible Regression and Smoothing, Cap. 3; De Jong & Heller (2008), GLMs for Insurance Data, CUP.