Centiles y curvas de referencia: el método LMS

1. Las curvas que pediatras y actuarios comparten

Cuando un pediatra dice "tu hijo está en el percentil 15 de peso para su edad", se apoya en curvas de centiles de referencia construidas con GAMLSS. La Organización Mundial de la Salud (OMS) publicó en 2006 sus curvas de crecimiento infantil usando precisamente el método LMS (Cole, 1992; Rigby & Stasinopoulos, 2004), que es un caso especial de GAMLSS con la familia BCCG.

El mismo principio aplica en seguros: los centiles de la distribución de severidad condicional a covariables (monto, sector) son las "curvas de referencia" que determinan primas y reservas.

2. El método LMS

El método LMS (Cole, 1992) asume que la variable respuesta $Y$ (ej. IMC) transformada mediante Box-Cox sigue una Normal:

$Z = \frac{(Y/\mu(t))^\nu - 1}{\nu \sigma(t)} \sim N(0, 1)$

donde $t$ es la covariable (típicamente la edad) y:

• L = $\nu(t)$: transformación Box-Cox (asimetría), suavizada por $t$.
• M = $\mu(t)$: mediana, suavizada por $t$.
• S = $\sigma(t)$: coeficiente de variación, suavizado por $t$.

Los centiles $100p$ de $Y$ dado $t$ se obtienen deshaciendo la transformación:

$C_p(t) = \mu(t) \left[1 + \nu(t) \sigma(t) \Phi^{-1}(p)\right]^{1/\nu(t)}$

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   Ajustar BCCG con suavizados por edad

   gamlss(bmi ~ pb(age), sigma.formula = ~ pb(age), nu.formula = ~ pb(age), family = BCCG). Cada parámetro (L, M, S) es una función suave de la edad.

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   Verificar el ajuste con worm plots

   wp(modelo, xvar = age, n.inter = 4). Las Q-statistics deben ser bajas (< 0.3) en todos los grupos de edad.

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   Generar centiles con centiles.pred()

   centiles(modelo, xvar = age, cent = c(3, 15, 50, 85, 97)). Grafica los centiles suavizados sobre los datos.

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   Comparar con BCT si hay colas pesadas

   Si las Q-statistics de C4 (curtosis) son altas, cambiar BCCG por BCT: el parámetro τ añade flexibilidad en las colas.

¿Cómo se ven L, M y S?

Antes de ajustar el modelo completo, es esencial visualizar cómo varían los tres parámetros del LMS con la edad. Cada parámetro cuenta una historia distinta:

Interpretación de los parámetros:

• M (mediana): la curva sube monotónicamente desde ~14 kg/m² a los 2 años hasta ~21 kg/m² a los 20 años. El crecimiento es más rápido en la adolescencia (10-15 años), reflejando el estirón puberal. Los grados efectivos (~4 df) indican una curva suave, no una línea recta.
• S (coeficiente de variación): disminuye de ~0.12 a ~0.08 entre los 2 y 10 años, luego sube ligeramente en la adolescencia. Esto significa que la dispersión relativa del IMC es mayor en niños pequeños, se estabiliza en la niñez y vuelve a crecer con la variabilidad puberal.
• L (Box-Cox, asimetría): el parámetro $\nu$ pasa de valores cercanos a 0 (asimetría marcada) en niños pequeños a valores cercanos a 1 (simetría, casi Normal) en adolescentes. Esto es biológicamente coherente: la distribución del IMC es más asimétrica en edades tempranas.

3. Curvas de IMC para niños holandeses

Interpretación del gráfico: los puntos representan las observaciones individuales de IMC por edad, y las curvas son los centiles 3, 15, 50, 85 y 97 estimados por el modelo LMS (BCCG). La mediana (centil 50) sube de forma monotónica con la edad, pero la dispersión aumenta: el espacio entre los centiles extremos se ensancha en edades mayores, reflejando que la variabilidad del IMC crece con la edad. Un niño por encima del centil 97 no necesariamente tiene sobrepeso: el centil es descriptivo, no diagnóstico.

Diagnóstico: worm plots del modelo LMS

Antes de confiar en los centiles, debemos verificar que el modelo ajusta bien en todos los rangos de edad. Los worm plots por grupo de edad son la herramienta diagnóstica estándar:

Interpretación de los worm plots: los cuatro gusanos están cerca de la línea horizontal de referencia, sin desviaciones sistemáticas. Las Q-statistics ($C_1$–$C_4$) son todas menores a 0.3, el umbral de aceptación de van Buuren & Fredriks (2001). El grupo de 12-16 años (adolescencia) muestra el valor más alto de $C_4$ (curtosis = 0.21), lo que sugiere una ligera subestimación de las colas en ese rango — esperable dado el estirón puberal. Si $C_4$ hubiera superado 0.5, sería necesario cambiar a BCT (LMST).

Comparación visual: BCCG vs BCT

¿Cómo se ven los centiles cuando comparamos LMS (BCCG) con LMST (BCT)? Veámoslo lado a lado:

Interpretación de la comparación: los centiles de BCCG y BCT son casi idénticos en el rango central (percentiles 15-85). La diferencia aparece en las colas: el centil 3 de BCT es ligeramente más bajo que el de BCCG en edades 12-16, y el centil 97 es ligeramente más alto. Esto refleja que BCT modela colas más pesadas vía $\tau$. Sin embargo, con $\Delta\text{AIC} = 7.4$ (menos de 10), la mejora es marginal: BCCG es preferible por parsimonia, a menos que el diagnóstico muestre patología sistemática en $C_4$.

4. Extensión LMST: cuando BCCG no basta

Si el worm plot muestra patología de forma de S (C4 alto), la BCCG no captura la curtosis. La extensión natural es BCT (Box-Cox t), que añade el parámetro $\tau$:

Interpretación del gráfico LMST: las curvas de centiles de BCT son visualmente casi indistinguibles de las de BCCG para estos datos. El parámetro $\tau$ suavizado por edad oscila entre 8 y 15, indicando colas moderadamente ligeras (lejanas de la Normal pero no pesadas). La conclusión práctica: para el IMC infantil, LMS (BCCG) es suficiente. BCT sería necesario si observáramos individuos extremos sistemáticamente fuera de los centiles 3 y 97, lo que indicaría colas más pesadas de lo que BCCG puede capturar.

5. Aplicación actuarial: centiles de severidad

El mismo principio se aplica para construir curvas de centiles de severidad condicional al monto asegurado:

Visualización: centiles de severidad por monto asegurado

Los números de la consola muestran el patrón, pero un gráfico lo hace evidente:

Interpretación del gráfico: las tres curvas muestran los centiles 50, 95 y 99 de severidad condicional al monto asegurado. La mediana (P50, línea azul) crece de forma aproximadamente lineal con el monto. Sin embargo, el P99 (línea roja) crece más rápido: el ratio P99/P50 pasa de 3.15 para montos pequeños a 3.96 para montos grandes. Esto significa que la cola de la distribución de severidad se ensancha relativamente a medida que aumenta el monto asegurado — un hallazgo crítico para el cálculo de reservas. Ignorar esta heterocedasticidad (usar un modelo con $\sigma$ constante) subestimaría severamente el VaR para pólizas de alto monto.

6. Cierre

LMS**Length-Median-Shape** — Método de Cole (1992) para curvas de centiles. BCCG con ν(t), μ(t), σ(t) suavizados por edad. Los centiles: C_p = μ[1 + νσΦ⁻¹(p)]^{1/ν}. Base de las curvas OMS 2006. Referencia: Cole (1992). centiles()**Función de gamlss para curvas de centiles** — centiles(modelo, xvar, cent). Grafica los centiles suavizados sobre el scatter de datos. Devuelve el % de observaciones bajo cada centil (validación de calibración). Referencia: Stasinopoulos et al. (2017, Cap. 6).

¿Qué modelarías tú?

¿Qué variable en tu dominio necesita curvas de referencia por edad, tamaño o exposición? ¿Bastan los centiles de una BCCG (LMS) o necesitas la flexibilidad de BCT (LMST) para colas pesadas?

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Referencias: Cole (1992), Stat. Med. 11; Rigby & Stasinopoulos (2004), Appl. Stat. 53; OMS (2006), WHO Child Growth Standards; Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 6.