GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. El dilema del modelador

Laura ha ajustado varios modelos a las severidades de ACC: Gamma con $\mu$ lineal, Gamma con $\mu$ y $\sigma$ por sector, BCT con suavizados, BCT con efectos aleatorios... ¿Cuál es el "mejor"? ¿El de menor AIC? ¿El más parsimonioso? ¿El que mejor pasa los diagnósticos?

La selección de modelos en GAMLSS tiene tres dimensiones:

Familia de distribución: ¿GA, BCT, GB2?
Estructura de predictores: ¿lineal, suavizado, con efectos aleatorios?
Penalización: ¿AIC ( $K=2$ ), BIC ( $K=\log n$ ), o un valor intermedio?

Objetivo

Sistematizar la selección de modelos en GAMLSS usando el GAIC con diferentes valores de $K$ , entender el balance sesgo-varianza, y establecer un protocolo de selección reproducible.

2. GAIC: la fórmula general

El GAIC (Generalized Akaike Information Criterion) penaliza la complejidad del modelo:

$GAIC_K = -2\ell(\hat{\boldsymbol{\theta}}) + K \cdot p_{eff}$

donde:

$\ell(\hat{\boldsymbol{\theta}})$ es la log-verosimilitud evaluada en los parámetros estimados.
$p_{eff}$ es el número de parámetros efectivos (incluyendo los grados de libertad de los suavizados).
$K$ es el parámetro de penalización.

Valor de K	Criterio	Filosofía
2	AIC	Minimiza el riesgo de predicción. Favorece modelos más complejos.
$\log(n)$	BIC	Consistente bajo n→∞. Favorece parsimonía.
3.9	Sugerido por Rigby et al. (2019)	Balance para distribuciones de 4 parámetros.
$\infty$	—	El modelo más simple posible.

3. Selección paso a paso

El protocolo recomendado por Stasinopoulos et al. (2017, Cap. 8):

Comparación de modelos (GAIC)

Modelo	Familia	gl	GAIC	ΔGAIC
m_full (BCT, pb+nu)	BCT	22	12271.8	—
m_smooth (BCT, pb)	BCT	17	12287.1	+15.3
m_lin (BCT, linear)	BCT	15	12298.3	+26.5
m_bct (BCT, base)	BCT	14	12305.6	+33.8
m_ga (GA, base)	GA	12	12329.6	+57.8

★ Modelo con menor GAIC. ΔGAIC < 10: evidencia débil; 10–100: moderada; > 100: fuerte.

AIC vs BIC: el eterno debate

Con $K=2$ (AIC), el modelo más complejo (m_full) gana por 15 puntos sobre m_smooth. Pero con $K=\log(1500) \approx 7.31$ (BIC), el modelo más parsimonioso (m_bct) gana. ¿Cuál elegir?

Si el objetivo es predicción, usa AIC ( $K=2$ ).
Si el objetivo es inferencia parsimoniosa, usa BIC.
En la práctica actuarial, donde los cuantiles extremos importan, la flexibilidad adicional suele justificarse: preferimos AIC.

4. El balance sesgo-varianza en suavizados

El parámetro de suavizado $\lambda$ controla el balance sesgo-varianza:

$\lambda \to \infty$ : la curva es una recta (alto sesgo, baja varianza).
$\lambda \to 0$ : la curva interpola los datos (bajo sesgo, alta varianza).

El GAIC encuentra el $\lambda$ óptimo automáticamente. Pero es importante verificar que el suavizado no sea ni excesivo (subajuste) ni insuficiente (sobreajuste):

5. Comparación de modelos anidados: test de razón de verosimilitud

Para modelos anidados (uno es un caso especial del otro), se puede usar el test de razón de verosimilitud penalizado:

6. Cierre

¿Cuándo es preferible usar BIC (K = log(n)) en lugar de AIC (K = 2)?

Cuando el objetivo es predicción y se quiere el modelo más flexibleCuando el objetivo es inferencia parsimoniosa y se quiere evitar sobreajusteCuando n es pequeño (menos de 30 observaciones)Siempre: BIC es superior a AIC en todos los casos

En el protocolo de selección, ¿por qué se elige la familia antes que la estructura de predictores?

Porque la familia es lo más importantePorque comparar predictores requiere que la familia sea la misma para que el GAIC sea comparablePorque es más rápido ajustar sin covariablesNo hay razón específica; el orden es arbitrario

¿Qué modelarías tú?

Construye 3-4 modelos crecientes en complejidad para una variable de tu dominio. Compara con GAIC para $K=2$ y $K=\log(n)$ . ¿Coincide el ganador? Si no, ¿cuál te parece más razonable para tu contexto?

Referencias: Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 8; Rigby et al. (2019), Cap. 1; Burnham & Anderson (2002), Model Selection and Multimodel Inference.