GAMLSS: Regresión Distribucional Aplicada

1. La prima técnica: frecuencia × severidad

La prima pura de un seguro se calcula como:

$\text{Prima pura} = E[\text{frecuencia}] \times E[\text{severidad}]$

Pero esto es solo el valor esperado. El regulador exige además el capital de solvencia, que depende de un cuantil alto de la distribución de pérdidas agregadas:

$S = \sum_{i=1}^{N} X_i$

donde $N$ es el número de siniestros (frecuencia) y $X_i$ son las severidades individuales. La distribución de $S$ depende de las distribuciones de $N$ y de $X$ , que a su vez dependen de covariables.

Objetivo

Construir un sistema de tarificación integrando los modelos de frecuencia (ZINBI) y severidad (BCT) ajustados en módulos anteriores, calcular primas condicionales con bandas de confianza, y estimar el capital de solvencia mediante simulación.

2. El pipeline de tarificación

Modelo de frecuencia
Ajustar ZINBI para N (número de siniestros por póliza) condicional a sector, zona, antigüedad y exposure. Módulo 8.
Modelo de severidad
Ajustar BCT para X (severidad individual) condicional a monto, sector y antigüedad. Módulo 10.
Prima pura condicional
Prima = E[N] × E[X] para un perfil dado. Usar predict() en ambos modelos y multiplicar.
Simulación de pérdidas agregadas
Simular N ~ ZINBI(μ̂, σ̂, ν̂) y luego X_i ~ BCT(μ̂, σ̂, ν̂, τ̂) para i=1..N. Repetir 10,000 veces para obtener la distribución de S.
Cuantiles de solvencia
El VaR 99.5% de S es el capital de solvencia. La prima técnica = E[S] + carga de seguridad (ej. 5% del VaR).

3. Cargando los modelos ajustados

4. Simulación de pérdidas agregadas

5. Prima técnica con carga de seguridad

El sistema de tarificación distribucional

Hemos construido un sistema completo de tarificación:

Frecuencia (ZINBI): captura sobredispersión y exceso de ceros.
Severidad (BCT): captura asimetría y colas pesadas.
Agregación (Monte Carlo): integra ambos modelos en la distribución de $S$ .
Prima técnica: $E[S]$ + carga proporcional al VaR.

Cada componente es un modelo GAMLSS condicional a covariables. La prima varía por perfil de riesgo de forma no lineal y no aditiva: la interacción entre frecuencia y severidad produce primas que ningún modelo de media por separado podría capturar.

6. Cierre

¿Por qué la prima técnica no es simplemente E[N] × E[X]?

Porque E[N] × E[X] ignora la varianza y los cuantiles de la pérdida agregadaPorque E[N] × E[X] es siempre ceroPorque la frecuencia y la severidad no son independientesPorque el regulador prohíbe usar el valor esperado

¿Qué modelarías tú?

Si tienes datos de frecuencia y severidad por separado, ajusta un modelo para cada uno y simula la pérdida agregada. ¿Cuánto difiere el VaR 99.5% del valor esperado? ¿Qué perfil de cliente genera la mayor prima técnica?

Referencias: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models: From Data to Decisions; De Jong & Heller (2008), GLMs for Insurance Data; Stasinopoulos et al. (2017), Cap. 9.